Повторительно-обобщающий урок по теме «Геометрическая прогрессия»

Геометрическая прогрессия (ГП) — это последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент получается умножением предыдущего на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии. Формально, ГП может быть определена следующим образом:

a, a*r, a*r², a*r³, …

где a — первый член прогрессии, r — знаменатель прогрессии.

Примеры геометрической прогрессии:

2, 4, 8, 16, … (a=2, r=2)
1, -2, 4, -8, … (a=1, r=-2)
3, 3/2, 3/4, 3/8, … (a=3, r=1/2)

Основные свойства геометрической прогрессии:

1. Формула общего члена: n-й член ГП может быть выражен через первый член и знаменатель прогрессии с помощью формулы an = a * r^(n-1), где n — номер члена прогрессии.

2. Сумма n членов ГП: сумма первых n членов ГП может быть вычислена с помощью формулы Sn = a * (r^n — 1) / (r — 1).

3. Бесконечная геометрическая прогрессия: если |r| < 1, то сумма всех членов ГП будет иметь конечное значение и может быть вычислена по формуле S = a / (1 - r).4. Сумма бесконечной геометрической прогрессии: сумма бесконечной ГП может быть вычислена по формуле S = a / (1 - r), при условии, что |r| < 1.Геометрическая прогрессия широко используется в математике и других науках. Она может быть применена для моделирования различных процессов, таких как экспоненциальный рост или убывание, а также для решения задач в финансовой математике, физике и других областях.Например, геометрическая прогрессия может быть использована для моделирования роста населения, где первый член прогрессии представляет начальное количество населения, а знаменатель прогрессии отражает скорость роста.Также ГП может быть использована для вычисления суммы процентов на банковский вклад или для моделирования распада радиоактивных элементов.В заключение, геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент получается умножением предыдущего на постоянное число. Она имеет множество применений в различных областях и может быть использована для моделирования различных процессов и решения задач.