Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии позволяет нам вычислить сумму первых n членов прогрессии, если известны значения первого члена и знаменателя прогрессии.

Пусть S_n обозначает сумму первых n членов геометрической прогрессии, a_1 — первый член прогрессии, r — знаменатель прогрессии. Тогда формула имеет вид:

S_n = a_1 * (1 — r^n) / (1 — r)

Данная формула основана на принципе геометрической прогрессии, где каждый следующий член прогрессии получается умножением предыдущего члена на знаменатель прогрессии.

Применение этой формулы может быть иллюстрировано на примере. Предположим, у нас есть геометрическая прогрессия с первым членом a_1 = 2 и знаменателем r = 3. Мы хотим найти сумму первых 5 членов этой прогрессии.

Используя формулу, мы можем вычислить:

S_5 = 2 * (1 — 3^5) / (1 — 3) = 2 * (1 — 243) / (-2) = -482/(-2) = 241

Таким образом, сумма первых 5 членов этой геометрической прогрессии равна 241.

Эта формула имеет множество приложений в различных областях. Например, в финансовой математике она может быть использована для вычисления будущей стоимости инвестиций или долгосрочного роста капитала. В физике она может быть применена для моделирования экспоненциального роста или упадка физических величин.

Кроме того, формула суммы первых n членов геометрической прогрессии может быть использована для анализа свойств прогрессии. Например, если модуль знаменателя прогрессии меньше единицы (|r| < 1), то сумма первых n членов прогрессии будет стремиться к конечному значению при увеличении n. Если же модуль знаменателя больше единицы (|r| > 1), то сумма будет стремиться к бесконечности.

В заключение, формула суммы первых n членов геометрической прогрессии является важным свойством этого типа прогрессии. Она позволяет нам вычислить сумму первых n членов прогрессии и анализировать ее свойства. Это делает геометрические прогрессии полезными инструментами для моделирования и решения различных задач.