Определение комплексного числа. Действия с комплексными числами

Комплексные числа — это числа, которые состоят из действительной и мнимой частей. Они представляются в виде a + bi, где a и b — действительные числа, а i — мнимая единица, которая определяется как i² = -1.

Операции с комплексными числами включают сложение, вычитание, умножение и деление. Для сложения и вычитания комплексных чисел складываются или вычитаются их действительные и мнимые части отдельно. Например, (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

Умножение комплексных чисел происходит по правилу распределения и свойствам мнимой единицы. (a + bi) * (c + di) = (ac — bd) + (ad + bc)i.

Деление комплексных чисел выполняется путем умножения числителя и знаменателя на сопряженное комплексное число знаменателя. (a + bi) / (c + di) = ((ac + bd) / (c² + d²)) + ((bc — ad) / (c² + d²))i.

Комплексные числа также могут быть представлены в полярной форме, где модуль числа представляет его расстояние от начала координат до точки на комплексной плоскости, а аргумент числа представляет угол между положительным направлением действительной оси и линией, соединяющей начало координат и точку.

Операции с комплексными числами в полярной форме выполняются путем перемножения модулей и сложения аргументов. Например, для умножения двух комплексных чисел в полярной форме (r1 * e^(i?1)) * (r2 * e^(i?2)) = (r1 * r2) * e^(i(?1 + ?2)).

Комплексные числа имеют широкое применение в различных областях, таких как физика, инженерия, математика и информатика. Они используются для решения уравнений, анализа колебаний, моделирования электрических цепей и многих других задач.

В заключение, комплексные числа состоят из действительной и мнимой частей и представляются в виде a + bi. Они подчиняются определенным правилам для операций сложения, вычитания, умножения и деления. Комплексные числа также могут быть представлены в полярной форме. Они широко используются в различных областях и имеют важное значение в математике и приложениях.