Периодические десятичные дроби. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби

Периодические десятичные дроби являются особой формой записи десятичных чисел, в которых после запятой повторяется некоторая последовательность цифр бесконечно много раз. Это означает, что десятичная дробь имеет периодическую часть, которая повторяется в бесконечном цикле.

Разложение обыкновенной дроби в периодическую десятичную дробь возможно, если после деления числителя на знаменатель остается остаток. Этот остаток является началом периодической части десятичной дроби.

Чтобы определить периодическую часть десятичной дроби, можно использовать метод длинного деления. Для этого необходимо делить числитель на знаменатель, записывая результаты деления и остатки. Если остаток начинается повторяться, то это означает, что периодическая часть началась.

Например, рассмотрим дробь 1/3. При делении 1 на 3 получаем результат 0,3333333333… В данном случае, тройка повторяется бесконечно, что говорит о том, что периодическая часть десятичной дроби равна 3.

Еще один пример — дробь 5/6. При делении 5 на 6 получаем результат 0,8333333333… В данном случае, после запятой начинается периодическая часть, которая состоит из цифры 3. Таким образом, разложение дроби 5/6 в периодическую десятичную дробь будет выглядеть как 0,83(3).

Периодические десятичные дроби могут иметь различную длину периода. Некоторые дроби имеют период из одной цифры, например, 1/7 = 0,142857142857… В этом случае период состоит из цифры 142857. Другие дроби могут иметь более длинный период, например, 1/11 = 0,09090909… В этом случае период состоит из цифры 09.

Периодические десятичные дроби могут быть представлены с помощью специального символа над повторяющейся частью, например, 0,83(3) или с помощью черты над повторяющейся частью, например, 0,83?3.

Периодические десятичные дроби имеют свои особенности и свойства. Например, сумма или разность двух периодических десятичных дробей также будет периодической десятичной дробью с тем же периодом. Умножение или деление периодической десятичной дроби на конечное число также даст периодическую десятичную дробь.

Разложение обыкновенной дроби в периодическую десятичную дробь является важным процессом, который позволяет представить дробные числа в удобной форме для анализа и решения математических задач. Это также помогает ученикам лучше понять связь между обыкновенными дробями и периодическими десятичными дробями, а также развивает навыки работы с десятичными числами и периодическими десятичными дробями.